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Question

(A) हम सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का मूल्यांकन करते हैं। प्रतिस्थापन $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ का

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$\frac{1}{2} < L < 2$

Vedclass · Answer

(A) हम सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का मूल्यांकन करते हैं। प्रतिस्थापन $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$ प्राप्त होता है। जैसे ही $n \rightarrow \infty$,समाकलन $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{(1 + t^2/n)^n} \cdot \frac{dt}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\sqrt{n}} (1 + t^2/n)^{-n} dt$ हो जाता है। घातांकीय फलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + t^2/n)^{-n} = e^{-t^2}$ होता है। अतः,$L = \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt$। हम जानते हैं कि गॉसियन समाकलन $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ है। चूंकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $\sqrt{\pi} \approx 1.772$। अतः,$L = \frac{1.772}{2} = 0.886$। चूंकि $0.5 < 0.886 < 2$,सही विकल्प $\frac{1}{2} < L < 2$ है।

मान लीजिए कि सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का अस्तित्व है और यह $\frac{1}{2}$ से बड़ा है। तो,

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